Решить x^3+7x^2+14x+8

$$x ^ { 3 } + 7 x ^ { 2 } + 14 x + 8$$

Разложить на множители

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 8, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является -4. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}+3x+2\right)$$

Учтите x^{2}+3x+2. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=2$$

Перепишите x^{2}+3x+2 как \left(x^{2}+x\right)+\left(2x+2\right).

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(2x+2\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Вычислить

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$