Решить x^2-x-7=20

$$x ^ { 2 } - x - 7 = 20$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-x-7=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-x-7-20=20-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x-7-20=0$$

Вычтите 20 из -7.

$$x^{2}-x-27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-27\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -27.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+108}}{2}$$

Прибавьте 1 к 108.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{109}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{109}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{109}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{109} из 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-7=20$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-x-7-\left(-7\right)=20-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x=20-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 20.

$$x^{2}-x=27$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 27 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$