Решить x^2-x-1/4=0

$$x ^ { 2 } - x - \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \approx 1,207106781$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207106781$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-x-\frac{1}{4}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -\frac{1}{4} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-\frac{1}{4}\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -\frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+1}}{2}$$

Прибавьте 1 к 1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{2}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{2} из 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-\frac{1}{4}=0$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-x-\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=-\left(-\frac{1}{4}\right)$$

Если из -\frac{1}{4} вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x=-\left(-\frac{1}{4}\right)$$

Вычтите -\frac{1}{4} из 0.

$$x^{2}-x=\frac{1}{4}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$