Решить x^2-x^200=

$$x ^ { 2 } - x ^ { 200 } =$$

Разложить на множители

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)x^{2}\left(x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)\left(x^{22}-x^{11}+1\right)\left(x^{22}+x^{11}+1\right)\left(-x^{66}+x^{33}-1\right)\left(x^{66}+x^{33}+1\right)$$

Действия по решению

Вынесите x^{2} за скобки.

$$x^{2}\left(1-x^{198}\right)$$

Учтите 1-x^{198}. Перепишите 1-x^{198} как 1^{2}-\left(-x^{99}\right)^{2}. Разность квадратов можно разложить с помощью правила: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(1+x^{99}\right)\left(1-x^{99}\right)$$

Упорядочите члены.

$$\left(x^{99}+1\right)\left(-x^{99}+1\right)$$

Учтите x^{99}+1. Перепишите x^{99}+1 как \left(x^{33}\right)^{3}+1^{3}. Сумма кубов может быть разрешается с помощью правила: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{33}+1\right)\left(x^{66}-x^{33}+1\right)$$

Учтите x^{33}+1. Перепишите x^{33}+1 как \left(x^{11}\right)^{3}+1^{3}. Сумма кубов может быть разрешается с помощью правила: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{11}+1\right)\left(x^{22}-x^{11}+1\right)$$

Учтите x^{11}+1. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является -1. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Учтите -x^{99}+1. Найдите один множитель в форме kx^{m}+n, где kx^{m} делит одночлен с наибольшим значением -x^{99} , а n делит постоянный множитель 1. Один из таких множителей — это x^{33}-1. Разложите полином, разделив его на этот множитель.

$$\left(x^{33}-1\right)\left(-x^{66}-x^{33}-1\right)$$

Учтите x^{33}-1. Перепишите x^{33}-1 как \left(x^{11}\right)^{3}-1^{3}. Разница между кубами может быть разрешается с помощью правила: a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{11}-1\right)\left(x^{22}+x^{11}+1\right)$$

Учтите x^{11}-1. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -1, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является 1. Разложите многочлен на множители, разделив его на x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение. Следующие многочлены не разлагаются на множители, поскольку не имеют рациональных корней: -x^{66}-x^{33}-1,x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,x^{22}-x^{11}+1,x^{22}+x^{11}+1,x^{66}-x^{33}+1.

$$x^{2}\left(x+1\right)\left(x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{22}-x^{11}+1\right)\left(x^{66}-x^{33}+1\right)\left(x-1\right)\left(x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)\left(x^{22}+x^{11}+1\right)\left(-x^{66}-x^{33}-1\right)$$

Вычислить

$$x^{2}\left(1-x^{22}\right)\left(\left(x^{22}+1\right)^{2}-x^{22}\right)\left(\left(x^{66}+1\right)^{2}-x^{66}\right)$$