Решить x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-x-42=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-x-42 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=-42$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-7 b=6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+6=0у.

$$x=7 x=-6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-x-42=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-7 b=6$$

Перепишите x^{2}-x-42 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+6=0у.

$$x=7 x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-x=42$$

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

Если из 42 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -42 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

Прибавьте 1 к 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±13}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 13.

$$x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{1±13}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Разделите -12 на 2.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 42 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=-6$$