Решить x^2-9x+9<0

$$x ^ { 2 } - 9 x + 9 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(\frac{9-3\sqrt{5}}{2},\frac{3\sqrt{5}+9}{2}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-9x+9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -9 и c на 9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{9±3\sqrt{5}}{2}$$

Решение x=\frac{9±3\sqrt{5}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+9}{2} x=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(x-\frac{3\sqrt{5}+9}{2}\right)\left(x-\frac{9-3\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{3\sqrt{5}+9}{2} и x-\frac{9-3\sqrt{5}}{2} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\frac{3\sqrt{5}+9}{2} положительное и x-\frac{9-3\sqrt{5}}{2} отрицательно.

$$x-\frac{3\sqrt{5}+9}{2}>0 x-\frac{9-3\sqrt{5}}{2}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x-\frac{9-3\sqrt{5}}{2} положительное и x-\frac{3\sqrt{5}+9}{2} отрицательно.

$$x-\frac{9-3\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{3\sqrt{5}+9}{2}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(\frac{9-3\sqrt{5}}{2},\frac{3\sqrt{5}+9}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{9-3\sqrt{5}}{2},\frac{3\sqrt{5}+9}{2}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(\frac{9-3\sqrt{5}}{2},\frac{3\sqrt{5}+9}{2}\right)$$