Решить x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-7x-30 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -30 продукта.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-10 b=3$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-30. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -30 продукта.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-10 b=3$$

Перепишите x^{2}-7x-30 как \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 3 во второй группе.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -7 вместо b и -30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Прибавьте 49 к 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{7±13}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Разделите 20 на 2.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{7±13}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Разделите -6 на 2.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Если из -30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Вычтите -30 из 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Разделите -7, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Прибавьте 30 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Разложите x^{2}-7x+\frac{49}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=-3$$