Решить x^2-7x-18=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 18 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-7x-18 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=-18$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-9 b=2$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+2=0у.

$$x=9 x=-2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-9 b=2$$

Перепишите x^{2}-7x-18 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+2=0у.

$$x=9 x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -7 вместо b и -18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-18\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -18.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2}$$

Прибавьте 49 к 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±11}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{7±11}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 11.

$$x=\frac{18}{2}$$

Разделите 18 на 2.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{7±11}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из 7.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Разделите -4 на 2.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Прибавьте 18 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-7x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Если из -18 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-18\right)$$

Вычтите -18 из 0.

$$x^{2}-7x=18$$

Деление -7, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Прибавьте 18 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=9 x=-2$$