Решить x^2-7x+10=0

$$x ^ { 2 } - 7 x + 10 = 0$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-7x+10 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-7 ab=10$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 10 продукта.

$$-1,-10 -2,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-5 b=-2$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x-2=0.

$$x=5 x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+10. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 10 продукта.

$$-1,-10 -2,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-5 b=-2$$

Перепишите x^{2}-7x+10 как \left(x^{2}-5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и -2 во второй группе.

$$x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x-2=0.

$$x=5 x=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-7x+10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -7 вместо b и 10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10}}{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

Умножьте -4 на 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2}$$

Прибавьте 49 к -40.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{7±3}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 3.

$$x=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{7±3}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 7.

$$x=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$x=2$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x+10=0$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-7x+10-10=-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-7x=-10$$

Разделите -7, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Прибавьте -10 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложите x^{2}-7x+\frac{49}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=2$$