Решить x^2-5x-7=0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 7 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 5}{2} \approx 6,140054945$$

$$x=\frac{5-\sqrt{53}}{2}\approx -1,140054945$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-5x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -5 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-7\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -7.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+28}}{2}$$

Прибавьте 25 к 28.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{53}}{2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{53}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{53}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{53}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{53} из 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{53}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{53}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{53}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-5x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-5x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$x^{2}-5x=7$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=7+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=7+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 7 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{53}{4}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{53}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{53}}{2}$$