Решить x^2-5x+3y=20

$$x ^ { 2 } - 5 x + 3 y = 20$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}\text{, }y\leq \frac{35}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-5x+3y=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-5x+3y-20=20-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-5x+3y-20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -5 вместо b и 3y-20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(3y-20\right)}}{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(3y-20\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на 3y-20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+80-12y}}{2}$$

Прибавьте 25 к -12y+80.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{105-12y}}{2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{105-12y}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{105-12y}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{105-12y}.

$$x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{105-12y}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{105-12y} из 5.

$$x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2} x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3y=20$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-5x+3y-3y=20-3y$$

Если из 3y вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-5x=20-3y$$

Разделите -5, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=20-3y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=20-3y+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 20-3y к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{4}-3y$$

Разложите x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{4}-3y$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{4}-3y}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105-12y}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105-12y}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{105-12y}+5}{2} x=\frac{-\sqrt{105-12y}+5}{2}$$

Найдите y

$$y=\frac{20+5x-x^{2}}{3}$$

Действия по решению линейного уравнения

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-5x+3y=20-x^{2}$$

Прибавьте 5x к обеим частям.

$$3y=20-x^{2}+5x$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$3y=20+5x-x^{2}$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3y}{3}=\frac{20+5x-x^{2}}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$y=\frac{20+5x-x^{2}}{3}$$