Решить x^2-41x+400=0

$$x ^ { 2 } - 41 x + 400 = 0$$

Найдите x

$$x=16$$

$$x=25$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-41x+400 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-41 ab=400$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -41.

$$a=-25 b=-16$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-25=0 и x-16=0у.

$$x=25 x=16$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+400. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -41.

$$a=-25 b=-16$$

Перепишите x^{2}-41x+400 как \left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right).

$$\left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right)$$

Разложите x в первом и -16 в второй группе.

$$x\left(x-25\right)-16\left(x-25\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-25, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-25=0 и x-16=0у.

$$x=25 x=16$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-41x+400=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -41 вместо b и 400 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

Возведите -41 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

Умножьте -4 на 400.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

Прибавьте 1681 к -1600.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

Число, противоположное -41, равно 41.

$$x=\frac{41±9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{41±9}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 41 к 9.

$$x=\frac{50}{2}$$

Разделите 50 на 2.

$$x=25$$

Решите уравнение x=\frac{41±9}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из 41.

$$x=\frac{32}{2}$$

Разделите 32 на 2.

$$x=16$$

Уравнение решено.

$$x=25 x=16$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-41x+400=0$$

Вычтите 400 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-41x+400-400=-400$$

Если из 400 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-41x=-400$$

Деление -41, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{41}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{41}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{41}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

Прибавьте -400 к \frac{1681}{4}.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

Коэффициент x^{2}-41x+\frac{1681}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

Прибавьте \frac{41}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=25 x=16$$