Решить x^2-4x-60=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 60 = 0$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-4x-60 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-10 b=6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-10\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x+6=0у.

$$x=10 x=-6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-60. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-10 b=6$$

Перепишите x^{2}-4x-60 как \left(x^{2}-10x\right)+\left(6x-60\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(6x-60\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(x-10\right)+6\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x+6=0у.

$$x=10 x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-4x-60=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -4 вместо b и -60 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-60\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -60.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2}$$

Прибавьте 16 к 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±16}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 16.

$$x=\frac{20}{2}$$

Разделите 20 на 2.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из 4.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Разделите -12 на 2.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-60=0$$

Прибавьте 60 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-4x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Если из -60 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-60\right)$$

Вычтите -60 из 0.

$$x^{2}-4x=60$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=60+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=60+4$$

Прибавьте 60 к 4.

$$x^{2}-4x+4=64$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=64$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Упростите.

$$x-2=8 x-2=-8$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=-6$$