Решить x^2-4x-32=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 32 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=8$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-4x-32 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=-32$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-8 b=4$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-8\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-8=0 и x+4=0у.

$$x=8 x=-4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-32. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=1\left(-32\right)=-32$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-8 b=4$$

Перепишите x^{2}-4x-32 как \left(x^{2}-8x\right)+\left(4x-32\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(4x-32\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(x-8\right)+4\left(x-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-8\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-8=0 и x+4=0у.

$$x=8 x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-4x-32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -4 вместо b и -32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-32\right)}}{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-32\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -32.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2}$$

Прибавьте 16 к 128.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±12}{2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±12}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±12}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 12.

$$x=\frac{16}{2}$$

Разделите 16 на 2.

$$x=8$$

Решите уравнение x=\frac{4±12}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из 4.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Разделите -8 на 2.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=8 x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-32=0$$

Прибавьте 32 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-4x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Если из -32 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-32\right)$$

Вычтите -32 из 0.

$$x^{2}-4x=32$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=32+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=32+4$$

Прибавьте 32 к 4.

$$x^{2}-4x+4=36$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=36$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Упростите.

$$x-2=6 x-2=-6$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=8 x=-4$$