Решить x^2-4x-21=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-4x-21 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=-21$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -21.

$$1,-21 3,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-7 b=3$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+3=0у.

$$x=7 x=-3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -21.

$$1,-21 3,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-7 b=3$$

Перепишите x^{2}-4x-21 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

Разложите x в первом и 3 в второй группе.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+3=0у.

$$x=7 x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -4 вместо b и -21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Прибавьте 16 к 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±10}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 10.

$$x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{4±10}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Разделите -6 на 2.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Прибавьте 21 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Если из -21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

Вычтите -21 из 0.

$$x^{2}-4x=21$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Прибавьте 21 к 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Упростите.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=-3$$