Решить x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -4 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Прибавьте 16 к -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Разделите 4+2\sqrt{3} на 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Решите уравнение x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{3} из 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Разделите 4-2\sqrt{3} на 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Прибавьте -1 к 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Упростите.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$