Решить x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Найдите x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-3x-180 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -180 продукта.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-15 b=12$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-15=0 и x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-180. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -180 продукта.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-15 b=12$$

Перепишите x^{2}-3x-180 как \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 12 во второй группе.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-15=0 и x+12=0.

$$x=15 x=-12$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -3 вместо b и -180 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Прибавьте 9 к 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{3±27}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Разделите 30 на 2.

$$x=15$$

Решите уравнение x=\frac{3±27}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 27 из 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Разделите -24 на 2.

$$x=-12$$

Уравнение решено.

$$x=15 x=-12$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Прибавьте 180 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Если из -180 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Вычтите -180 из 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Разделите -3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 180 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Разложите x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=15 x=-12$$