Решить x^2-28x-480=0

$$x ^ { 2 } - 28 x - 480 = 0$$

Найдите x

$$x=-12$$

$$x=40$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-28x-480 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-28 ab=-480$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -480.

$$1,-480 2,-240 3,-160 4,-120 5,-96 6,-80 8,-60 10,-48 12,-40 15,-32 16,-30 20,-24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-480=-479 2-240=-238 3-160=-157 4-120=-116 5-96=-91 6-80=-74 8-60=-52 10-48=-38 12-40=-28 15-32=-17 16-30=-14 20-24=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -28.

$$a=-40 b=12$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-40\right)\left(x+12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-40=0 и x+12=0у.

$$x=40 x=-12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-480. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-28 ab=1\left(-480\right)=-480$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -480.

$$1,-480 2,-240 3,-160 4,-120 5,-96 6,-80 8,-60 10,-48 12,-40 15,-32 16,-30 20,-24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-480=-479 2-240=-238 3-160=-157 4-120=-116 5-96=-91 6-80=-74 8-60=-52 10-48=-38 12-40=-28 15-32=-17 16-30=-14 20-24=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -28.

$$a=-40 b=12$$

Перепишите x^{2}-28x-480 как \left(x^{2}-40x\right)+\left(12x-480\right).

$$\left(x^{2}-40x\right)+\left(12x-480\right)$$

Разложите x в первом и 12 в второй группе.

$$x\left(x-40\right)+12\left(x-40\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-40, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-40\right)\left(x+12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-40=0 и x+12=0у.

$$x=40 x=-12$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-28x-480=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -28 вместо b и -480 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\left(-480\right)}}{2}$$

Возведите -28 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\left(-480\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -480.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2}$$

Прибавьте 784 к 1920.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 2704.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±52}{2}$$

Число, противоположное -28, равно 28.

$$x=\frac{28±52}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{28±52}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 28 к 52.

$$x=\frac{80}{2}$$

Разделите 80 на 2.

$$x=40$$

Решите уравнение x=\frac{28±52}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 52 из 28.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Разделите -24 на 2.

$$x=-12$$

Уравнение решено.

$$x=40 x=-12$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-28x-480=0$$

Прибавьте 480 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-28x-480-\left(-480\right)=-\left(-480\right)$$

Если из -480 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-28x=-\left(-480\right)$$

Вычтите -480 из 0.

$$x^{2}-28x=480$$

Деление -28, коэффициент x термина, 2 для получения -14. Затем добавьте квадрат -14 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=480+\left(-14\right)^{2}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x^{2}-28x+196=480+196$$

Прибавьте 480 к 196.

$$x^{2}-28x+196=676$$

Коэффициент x^{2}-28x+196. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-14\right)^{2}=676$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

Упростите.

$$x-14=26 x-14=-26$$

Прибавьте 14 к обеим частям уравнения.

$$x=40 x=-12$$