Решить x^2-25x+625=0

$$x ^ { 2 } - 25 x + 625 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2}\approx 12.5+21.650635095i$$

$$x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}\approx 12.5-21.650635095i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-25x+625=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -25 вместо b и 625 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 625}}{2}$$

Возведите -25 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 625}}{2}$$

Умножьте -4 на 625.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-2500}}{2}$$

Прибавьте 625 к -2500.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{-1875}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -1875.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±25\sqrt{3}i}{2}$$

Число, противоположное -25, равно 25.

$$x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 25 к 25i\sqrt{3}.

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 25i\sqrt{3} из 25.

$$x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x+625=0$$

Вычтите 625 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-25x+625-625=-625$$

Если из 625 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-25x=-625$$

Разделите -25, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{25}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-625+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-625+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -625 к \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-\frac{1875}{4}$$

Разложите x^{2}-25x+\frac{625}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=-\frac{1875}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1875}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{25\sqrt{3}i}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{25\sqrt{3}i}{2}$$

Прибавьте \frac{25}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$