Решить x^2-15x+44=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 44 = 0$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x=11$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-15x+44 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-15 ab=44$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -15.

$$a=-11 b=-4$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-11=0 и x-4=0у.

$$x=11 x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+44. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-15 ab=1\times 44=44$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -15.

$$a=-11 b=-4$$

Перепишите x^{2}-15x+44 как \left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-4x+44\right)$$

Разложите x в первом и -4 в второй группе.

$$x\left(x-11\right)-4\left(x-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-11\right)\left(x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-11=0 и x-4=0у.

$$x=11 x=4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -15 вместо b и 44 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 44}}{2}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 44}}{2}$$

Умножьте -4 на 44.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-176}}{2}$$

Прибавьте 225 к -176.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±7}{2}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{15±7}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 7.

$$x=\frac{22}{2}$$

Разделите 22 на 2.

$$x=11$$

Решите уравнение x=\frac{15±7}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 15.

$$x=\frac{8}{2}$$

Разделите 8 на 2.

$$x=4$$

Уравнение решено.

$$x=11 x=4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+44=0$$

Вычтите 44 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-15x+44-44=-44$$

Если из 44 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-15x=-44$$

Деление -15, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-44+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-44+\frac{225}{4}$$

Прибавьте -44 к \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{15}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=11 x=4$$