Решить x^2-14x+40=0

$$x ^ { 2 } - 14 x + 40 = 0$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-14x+40 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-14 ab=40$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -14.

$$a=-10 b=-4$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x-4=0у.

$$x=10 x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+40. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -14.

$$a=-10 b=-4$$

Перепишите x^{2}-14x+40 как \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Разложите x в первом и -4 в второй группе.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x-4=0у.

$$x=10 x=4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -14 вместо b и 40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Умножьте -4 на 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Прибавьте 196 к -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±6}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 6.

$$x=\frac{20}{2}$$

Разделите 20 на 2.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{14±6}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 6 из 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Разделите 8 на 2.

$$x=4$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Вычтите 40 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-14x+40-40=-40$$

Если из 40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-14x=-40$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Прибавьте -40 к 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Коэффициент x^{2}-14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=4$$