Решить x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Найдите x

$$x=6$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-13x+42 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-13 ab=42$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 42 продукта.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-7 b=-6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+42. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 42 продукта.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-7 b=-6$$

Перепишите x^{2}-13x+42 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и -6 во второй группе.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -13 вместо b и 42 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Возведите -13 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Умножьте -4 на 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Прибавьте 169 к -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Число, противоположное -13, равно 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{13±1}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 13 к 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{13±1}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x=6$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Если из 42 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Разделите -13, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{13}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Прибавьте -42 к \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Разложите x^{2}-13x+\frac{169}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{13}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=6$$