Решить x^2-13x+30=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 30 = 0$$

Найдите x

$$x=3$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-13x+30 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-13 ab=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-10 b=-3$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-10\right)\left(x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x-3=0у.

$$x=10 x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-13 ab=1\times 30=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-10 b=-3$$

Перепишите x^{2}-13x+30 как \left(x^{2}-10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Разложите x в первом и -3 в второй группе.

$$x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и x-3=0у.

$$x=10 x=3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-13x+30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -13 вместо b и 30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Возведите -13 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 30}}{2}$$

Умножьте -4 на 30.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-120}}{2}$$

Прибавьте 169 к -120.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±7}{2}$$

Число, противоположное -13, равно 13.

$$x=\frac{13±7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{13±7}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 13 к 7.

$$x=\frac{20}{2}$$

Разделите 20 на 2.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{13±7}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 13.

$$x=\frac{6}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x=3$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+30=0$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-13x+30-30=-30$$

Если из 30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-13x=-30$$

Деление -13, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{13}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Прибавьте -30 к \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{13}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=3$$