Решить x^2-115x=550

$$x ^ { 2 } - 115 x = 550$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{617} + 115}{2} \approx 119,598711742$$

$$x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}\approx -4,598711742$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-115x=550$$

Вычтите 550 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-115x-550=550-550$$

Если из 550 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-115x-550=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -115 вместо b и -550 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\left(-550\right)}}{2}$$

Возведите -115 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\left(-550\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -550.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225+2200}}{2}$$

Прибавьте 13225 к 2200.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{15425}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 15425.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±5\sqrt{617}}{2}$$

Число, противоположное -115, равно 115.

$$x=\frac{115±5\sqrt{617}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{115±5\sqrt{617}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 115 к 5\sqrt{617}.

$$x=\frac{5\sqrt{617}+115}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{115±5\sqrt{617}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 5\sqrt{617} из 115.

$$x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5\sqrt{617}+115}{2} x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-115x=550$$

Разделите -115, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{115}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{115}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=550+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{115}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=550+\frac{13225}{4}$$

Прибавьте 550 к \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=\frac{15425}{4}$$

Разложите x^{2}-115x+\frac{13225}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=\frac{15425}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15425}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{5\sqrt{617}}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{5\sqrt{617}}{2}$$

Прибавьте \frac{115}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{617}+115}{2} x=\frac{115-5\sqrt{617}}{2}$$