Решить x^2-11x=-30

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 30$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители

Прибавьте 30 к обеим частям.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-11x+30 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-6 b=-5$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x-5=0у.

$$x=6 x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 30 к обеим частям.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-6 b=-5$$

Перепишите x^{2}-11x+30 как \left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Разложите x в первом и -5 в второй группе.

$$x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x-5=0у.

$$x=6 x=5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-11x=-30$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=-30-\left(-30\right)$$

Если из -30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-11x-\left(-30\right)=0$$

Вычтите -30 из 0.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -11 вместо b и 30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Умножьте -4 на 30.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Прибавьте 121 к -120.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$x=\frac{11±1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{11±1}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к 1.

$$x=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{11±1}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=-30$$

Деление -11, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Прибавьте -30 к \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Коэффициент x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=6 x=5$$