Решить x^2-11x=-28

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 28$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители

Прибавьте 28 к обеим частям.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-11x+28 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-11 ab=28$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 28 продукта.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-7 b=-4$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 28 к обеим частям.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+28. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 28 продукта.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-7 b=-4$$

Перепишите x^{2}-11x+28 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и -4 во второй группе.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-11x=-28$$

Прибавьте 28 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=-28-\left(-28\right)$$

Если из -28 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=0$$

Вычтите -28 из 0.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -11 вместо b и 28 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Умножьте -4 на 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Прибавьте 121 к -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{11±3}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{11±3}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Разделите 8 на 2.

$$x=4$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=-28$$

Разделите -11, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Прибавьте -28 к \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложите x^{2}-11x+\frac{121}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=4$$