Решить x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -10 вместо b и 90 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Умножьте -4 на 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Прибавьте 100 к -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Разделите 10+2i\sqrt{65} на 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{65} из 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Разделите 10-2i\sqrt{65} на 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Уравнение решено.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Вычтите 90 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Если из 90 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Деление -10, коэффициент x термина, 2 для получения -5. Затем добавьте квадрат -5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Прибавьте -90 к 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Коэффициент x^{2}-10x+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Упростите.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$