Решить x^2+x-56=0

$$x ^ { 2 } + x - 56 = 0$$

Найдите x

$$x=-8$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+x-56 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=1 ab=-56$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -56 продукта.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-7 b=8$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-7\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+8=0.

$$x=7 x=-8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-56. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=1 ab=1\left(-56\right)=-56$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -56 продукта.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-7 b=8$$

Перепишите x^{2}+x-56 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 8 во второй группе.

$$x\left(x-7\right)+8\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+8=0.

$$x=7 x=-8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+x-56=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 1 вместо b и -56 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-56\right)}}{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-56\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -56.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2}$$

Прибавьте 1 к 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 225.

$$x=\frac{-1±15}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±15}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 15.

$$x=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{-1±15}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 15 из -1.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Разделите -16 на 2.

$$x=-8$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-56=0$$

Прибавьте 56 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+x-56-\left(-56\right)=-\left(-56\right)$$

Если из -56 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+x=-\left(-56\right)$$

Вычтите -56 из 0.

$$x^{2}+x=56$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=56+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=56+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 56 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{225}{4}$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{15}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=7 x=-8$$