Решить x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+x-42 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=-42$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-6 b=7$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x+7=0у.

$$x=6 x=-7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-6 b=7$$

Перепишите x^{2}+x-42 как \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и x+7=0у.

$$x=6 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+x-42=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 1 вместо b и -42 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Прибавьте 1 к 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±13}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{-1±13}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Разделите -14 на 2.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Прибавьте 42 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Если из -42 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Вычтите -42 из 0.

$$x^{2}+x=42$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 42 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=6 x=-7$$