Решить x^2+7x+47=0

$$x ^ { 2 } + 7 x + 47 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}\approx -3,5+5,894913061i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}\approx -3,5-5,894913061i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 7 вместо b и 47 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 47}}{2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 47}}{2}$$

Умножьте -4 на 47.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-188}}{2}$$

Прибавьте 49 к -188.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-139}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -139.

$$x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к i\sqrt{139}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{139} из -7.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Вычтите 47 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+7x+47-47=-47$$

Если из 47 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+7x=-47$$

Деление 7, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-47+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-47+\frac{49}{4}$$

Прибавьте -47 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-\frac{139}{4}$$

Коэффициент x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{139}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{139}i}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{139}i}{2}$$

Вычтите \frac{7}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$