Решить x^2+50x-30000=0

$$x ^ { 2 } + 50 x - 30000 = 0$$

Найдите x

$$x=-200$$

$$x=150$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+50x-30000 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=50 ab=-30000$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -30000 продукта.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 50.

$$a=-150 b=200$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-150=0 и x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-30000. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=50 ab=1\left(-30000\right)=-30000$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -30000 продукта.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 50.

$$a=-150 b=200$$

Перепишите x^{2}+50x-30000 как \left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right).

$$\left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 200 во второй группе.

$$x\left(x-150\right)+200\left(x-150\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-150, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-150=0 и x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 50 вместо b и -30000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Возведите 50 в квадрат.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -30000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120000}}{2}$$

Прибавьте 2500 к 120000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{122500}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 122500.

$$x=\frac{-50±350}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-50±350}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -50 к 350.

$$x=\frac{300}{2}$$

Разделите 300 на 2.

$$x=150$$

Решите уравнение x=\frac{-50±350}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 350 из -50.

$$x=-\frac{400}{2}$$

Разделите -400 на 2.

$$x=-200$$

Уравнение решено.

$$x=150 x=-200$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Прибавьте 30000 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+50x-30000-\left(-30000\right)=-\left(-30000\right)$$

Если из -30000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+50x=-\left(-30000\right)$$

Вычтите -30000 из 0.

$$x^{2}+50x=30000$$

Разделите 50, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 25. Затем добавьте квадрат 25 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+50x+25^{2}=30000+25^{2}$$

Возведите 25 в квадрат.

$$x^{2}+50x+625=30000+625$$

Прибавьте 30000 к 625.

$$x^{2}+50x+625=30625$$

Разложите x^{2}+50x+625 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+25\right)^{2}=30625$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+25\right)^{2}}=\sqrt{30625}$$

Упростите.

$$x+25=175 x+25=-175$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$x=150 x=-200$$