Решить x^2+5x-14=0

$$x ^ { 2 } + 5 x - 14 = 0$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+5x-14 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=-14$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -14.

$$-1,14 -2,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-2 b=7$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-2\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и x+7=0у.

$$x=2 x=-7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-14. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -14.

$$-1,14 -2,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-2 b=7$$

Перепишите x^{2}+5x-14 как \left(x^{2}-2x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(7x-14\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и x+7=0у.

$$x=2 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+5x-14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 5 вместо b и -14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -14.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2}$$

Прибавьте 25 к 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-5±9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±9}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 9.

$$x=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{-5±9}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -5.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Разделите -14 на 2.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x-14=0$$

Прибавьте 14 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+5x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Если из -14 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+5x=-\left(-14\right)$$

Вычтите -14 из 0.

$$x^{2}+5x=14$$

Деление 5, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 14 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

Коэффициент x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Вычтите \frac{5}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=2 x=-7$$