Решить x^2+40x-75=0

$$x ^ { 2 } + 40 x - 75 = 0$$

Найдите x

$$x=5\sqrt{19}-20\approx 1,794494718$$

$$x=-5\sqrt{19}-20\approx -41,794494718$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+40x-75=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 40 вместо b и -75 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

Возведите 40 в квадрат.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-75\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -75.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+300}}{2}$$

Прибавьте 1600 к 300.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1900}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1900.

$$x=\frac{-40±10\sqrt{19}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-40±10\sqrt{19}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -40 к 10\sqrt{19}.

$$x=\frac{10\sqrt{19}-40}{2}$$

Разделите -40+10\sqrt{19} на 2.

$$x=5\sqrt{19}-20$$

Решите уравнение x=\frac{-40±10\sqrt{19}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{19} из -40.

$$x=\frac{-10\sqrt{19}-40}{2}$$

Разделите -40-10\sqrt{19} на 2.

$$x=-5\sqrt{19}-20$$

Уравнение решено.

$$x=5\sqrt{19}-20 x=-5\sqrt{19}-20$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+40x-75=0$$

Прибавьте 75 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+40x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Если из -75 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+40x=-\left(-75\right)$$

Вычтите -75 из 0.

$$x^{2}+40x=75$$

Деление 40, коэффициент x термина, 2 для получения 20. Затем добавьте квадрат 20 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+40x+20^{2}=75+20^{2}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x^{2}+40x+400=75+400$$

Прибавьте 75 к 400.

$$x^{2}+40x+400=475$$

Коэффициент x^{2}+40x+400. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=475$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{475}$$

Упростите.

$$x+20=5\sqrt{19} x+20=-5\sqrt{19}$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$x=5\sqrt{19}-20 x=-5\sqrt{19}-20$$