Решить x^2+4x-45=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 45 = 0$$

Найдите x

$$x=-9$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+4x-45 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=4 ab=-45$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -45 продукта.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-5 b=9$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-45. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=4 ab=1\left(-45\right)=-45$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -45 продукта.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-5 b=9$$

Перепишите x^{2}+4x-45 как \left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(9x-45\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 9 во второй группе.

$$x\left(x-5\right)+9\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x+9=0.

$$x=5 x=-9$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 4 вместо b и -45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-45\right)}}{2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-45\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -45.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2}$$

Прибавьте 16 к 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-4±14}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±14}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 14.

$$x=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{-4±14}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -4.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Разделите -18 на 2.

$$x=-9$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-45=0$$

Прибавьте 45 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+4x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Если из -45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-45\right)$$

Вычтите -45 из 0.

$$x^{2}+4x=45$$

Разделите 4, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 2. Затем добавьте квадрат 2 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+4x+2^{2}=45+2^{2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x^{2}+4x+4=45+4$$

Прибавьте 45 к 4.

$$x^{2}+4x+4=49$$

Разложите x^{2}+4x+4 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=49$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Упростите.

$$x+2=7 x+2=-7$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$x=5 x=-9$$