Решить x^2+4x-21=0

$$x ^ { 2 } + 4 x - 21 = 0$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+4x-21 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=4 ab=-21$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -21 продукта.

$$-1,21 -3,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-3 b=7$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-3\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+7=0.

$$x=3 x=-7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-21. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -21 продукта.

$$-1,21 -3,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-3 b=7$$

Перепишите x^{2}+4x-21 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(7x-21\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(7x-21\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 7 во второй группе.

$$x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+7=0.

$$x=3 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+4x-21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 4 вместо b и -21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2}$$

Прибавьте 16 к 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-4±10}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±10}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 10.

$$x=\frac{6}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-4±10}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -4.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Разделите -14 на 2.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+4x-21=0$$

Прибавьте 21 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Если из -21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-21\right)$$

Вычтите -21 из 0.

$$x^{2}+4x=21$$

Разделите 4, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 2. Затем добавьте квадрат 2 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+4x+2^{2}=21+2^{2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x^{2}+4x+4=21+4$$

Прибавьте 21 к 4.

$$x^{2}+4x+4=25$$

Разложите x^{2}+4x+4 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Упростите.

$$x+2=5 x+2=-5$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$x=3 x=-7$$