Решить x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Найдите x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+34x-71000 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 34.

$$a=-250 b=284$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-250=0 и x+284=0у.

$$x=250 x=-284$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-71000. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 34.

$$a=-250 b=284$$

Перепишите x^{2}+34x-71000 как \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Разложите x в первом и 284 в второй группе.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-250, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-250=0 и x+284=0у.

$$x=250 x=-284$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 34 вместо b и -71000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Возведите 34 в квадрат.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Прибавьте 1156 к 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-34±534}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -34 к 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Разделите 500 на 2.

$$x=250$$

Решите уравнение x=\frac{-34±534}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 534 из -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Разделите -568 на 2.

$$x=-284$$

Уравнение решено.

$$x=250 x=-284$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Прибавьте 71000 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Если из -71000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Вычтите -71000 из 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Деление 34, коэффициент x термина, 2 для получения 17. Затем добавьте квадрат 17 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Возведите 17 в квадрат.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Прибавьте 71000 к 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Коэффициент x^{2}+34x+289. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Упростите.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Вычтите 17 из обеих частей уравнения.

$$x=250 x=-284$$