Решить x^2+30x-18000=0

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

Найдите x

$$x=-150$$

$$x=120$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+30x-18000 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=30 ab=-18000$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -18000 продукта.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 30.

$$a=-120 b=150$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-120=0 и x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-18000. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -18000 продукта.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 30.

$$a=-120 b=150$$

Перепишите x^{2}+30x-18000 как \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right).

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 150 во второй группе.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-120, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-120=0 и x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 30 вместо b и -18000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -18000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

Прибавьте 900 к 72000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 72900.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±270}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -30 к 270.

$$x=\frac{240}{2}$$

Разделите 240 на 2.

$$x=120$$

Решите уравнение x=\frac{-30±270}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 270 из -30.

$$x=-\frac{300}{2}$$

Разделите -300 на 2.

$$x=-150$$

Уравнение решено.

$$x=120 x=-150$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Прибавьте 18000 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

Если из -18000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

Вычтите -18000 из 0.

$$x^{2}+30x=18000$$

Разделите 30, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 15. Затем добавьте квадрат 15 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

Возведите 15 в квадрат.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

Прибавьте 18000 к 225.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

Разложите x^{2}+30x+225 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

Упростите.

$$x+15=135 x+15=-135$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$x=120 x=-150$$