Решить x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

Найдите x

$$x=-21$$

$$x=-4$$

Способ разложения на множители

Прибавьте 84 к обеим частям.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+25x+84 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=84$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=4 b=21$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+4=0 и x+21=0у.

$$x=-4 x=-21$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 84 к обеим частям.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+84. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=4 b=21$$

Перепишите x^{2}+25x+84 как \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

Разложите x в первом и 21 в второй группе.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+4=0 и x+21=0у.

$$x=-4 x=-21$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+25x=-84$$

Прибавьте 84 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

Если из -84 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

Вычтите -84 из 0.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 25 вместо b и 84 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

Возведите 25 в квадрат.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

Умножьте -4 на 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

Прибавьте 625 к -336.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-25±17}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -25 к 17.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Разделите -8 на 2.

$$x=-4$$

Решите уравнение x=\frac{-25±17}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -25.

$$x=-\frac{42}{2}$$

Разделите -42 на 2.

$$x=-21$$

Уравнение решено.

$$x=-4 x=-21$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x=-84$$

Деление 25, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{25}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -84 к \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

Коэффициент x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

Вычтите \frac{25}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-4 x=-21$$