Решить x^2+20x=-75

$$x ^ { 2 } + 20 x = - 75$$

Найдите x

$$x=-15$$

$$x=-5$$

Способ разложения на множители

Прибавьте 75 к обеим частям.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+20x+75 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=20 ab=75$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 20.

$$a=5 b=15$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+5=0 и x+15=0у.

$$x=-5 x=-15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 75 к обеим частям.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+75. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=20 ab=1\times 75=75$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 20.

$$a=5 b=15$$

Перепишите x^{2}+20x+75 как \left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(15x+75\right)$$

Разложите x в первом и 15 в второй группе.

$$x\left(x+5\right)+15\left(x+5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+5\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+5=0 и x+15=0у.

$$x=-5 x=-15$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+20x=-75$$

Прибавьте 75 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=-75-\left(-75\right)$$

Если из -75 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+20x-\left(-75\right)=0$$

Вычтите -75 из 0.

$$x^{2}+20x+75=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 20 вместо b и 75 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 75}}{2}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 75}}{2}$$

Умножьте -4 на 75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2}$$

Прибавьте 400 к -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-20±10}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±10}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20 к 10.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Разделите -10 на 2.

$$x=-5$$

Решите уравнение x=\frac{-20±10}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -20.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Разделите -30 на 2.

$$x=-15$$

Уравнение решено.

$$x=-5 x=-15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x=-75$$

Деление 20, коэффициент x термина, 2 для получения 10. Затем добавьте квадрат 10 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-75+10^{2}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x^{2}+20x+100=-75+100$$

Прибавьте -75 к 100.

$$x^{2}+20x+100=25$$

Коэффициент x^{2}+20x+100. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Упростите.

$$x+10=5 x+10=-5$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$x=-5 x=-15$$