Решить x^2+2x-15=0

$$x ^ { 2 } + 2 x - 15 = 0$$

Найдите x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+2x-15 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=2 ab=-15$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -15 продукта.

$$-1,15 -3,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-3 b=5$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -15 продукта.

$$-1,15 -3,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-3 b=5$$

Перепишите x^{2}+2x-15 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 5 во второй группе.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 2 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2}$$

Прибавьте 4 к 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$x=\frac{-2±8}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±8}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-2±8}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из -2.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Разделите -10 на 2.

$$x=-5$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$x^{2}+2x=15$$

Разделите 2, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 1. Затем добавьте квадрат 1 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Прибавьте 15 к 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Разложите x^{2}+2x+1 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Упростите.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x=3 x=-5$$