Решить x^2+16x-1536=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 1536 = 0$$

Найдите x

$$x=-48$$

$$x=32$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+16x-1536 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=16 ab=-1536$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -1536.

$$-1,1536 -2,768 -3,512 -4,384 -6,256 -8,192 -12,128 -16,96 -24,64 -32,48$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1536=1535 -2+768=766 -3+512=509 -4+384=380 -6+256=250 -8+192=184 -12+128=116 -16+96=80 -24+64=40 -32+48=16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 16.

$$a=-32 b=48$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-32\right)\left(x+48\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-32=0 и x+48=0у.

$$x=32 x=-48$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-1536. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=16 ab=1\left(-1536\right)=-1536$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -1536.

$$-1,1536 -2,768 -3,512 -4,384 -6,256 -8,192 -12,128 -16,96 -24,64 -32,48$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1536=1535 -2+768=766 -3+512=509 -4+384=380 -6+256=250 -8+192=184 -12+128=116 -16+96=80 -24+64=40 -32+48=16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 16.

$$a=-32 b=48$$

Перепишите x^{2}+16x-1536 как \left(x^{2}-32x\right)+\left(48x-1536\right).

$$\left(x^{2}-32x\right)+\left(48x-1536\right)$$

Разложите x в первом и 48 в второй группе.

$$x\left(x-32\right)+48\left(x-32\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-32, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-32\right)\left(x+48\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-32=0 и x+48=0у.

$$x=32 x=-48$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+16x-1536=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 16 вместо b и -1536 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-1536\right)}}{2}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-1536\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+6144}}{2}$$

Прибавьте 256 к 6144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{6400}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 6400.

$$x=\frac{-16±80}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±80}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 80.

$$x=\frac{64}{2}$$

Разделите 64 на 2.

$$x=32$$

Решите уравнение x=\frac{-16±80}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 80 из -16.

$$x=-\frac{96}{2}$$

Разделите -96 на 2.

$$x=-48$$

Уравнение решено.

$$x=32 x=-48$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-1536=0$$

Прибавьте 1536 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+16x-1536-\left(-1536\right)=-\left(-1536\right)$$

Если из -1536 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-1536\right)$$

Вычтите -1536 из 0.

$$x^{2}+16x=1536$$

Деление 16, коэффициент x термина, 2 для получения 8. Затем добавьте квадрат 8 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+16x+8^{2}=1536+8^{2}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x^{2}+16x+64=1536+64$$

Прибавьте 1536 к 64.

$$x^{2}+16x+64=1600$$

Коэффициент x^{2}+16x+64. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=1600$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{1600}$$

Упростите.

$$x+8=40 x+8=-40$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$x=32 x=-48$$