Решить x^2+15x-2700=0

$$x ^ { 2 } + 15 x - 2700 = 0$$

Найдите x

$$x=-60$$

$$x=45$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+15x-2700 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=15 ab=-2700$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2700.

$$-1,2700 -2,1350 -3,900 -4,675 -5,540 -6,450 -9,300 -10,270 -12,225 -15,180 -18,150 -20,135 -25,108 -27,100 -30,90 -36,75 -45,60 -50,54$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2700=2699 -2+1350=1348 -3+900=897 -4+675=671 -5+540=535 -6+450=444 -9+300=291 -10+270=260 -12+225=213 -15+180=165 -18+150=132 -20+135=115 -25+108=83 -27+100=73 -30+90=60 -36+75=39 -45+60=15 -50+54=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 15.

$$a=-45 b=60$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-45\right)\left(x+60\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-45=0 и x+60=0у.

$$x=45 x=-60$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-2700. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=15 ab=1\left(-2700\right)=-2700$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2700.

$$-1,2700 -2,1350 -3,900 -4,675 -5,540 -6,450 -9,300 -10,270 -12,225 -15,180 -18,150 -20,135 -25,108 -27,100 -30,90 -36,75 -45,60 -50,54$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2700=2699 -2+1350=1348 -3+900=897 -4+675=671 -5+540=535 -6+450=444 -9+300=291 -10+270=260 -12+225=213 -15+180=165 -18+150=132 -20+135=115 -25+108=83 -27+100=73 -30+90=60 -36+75=39 -45+60=15 -50+54=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 15.

$$a=-45 b=60$$

Перепишите x^{2}+15x-2700 как \left(x^{2}-45x\right)+\left(60x-2700\right).

$$\left(x^{2}-45x\right)+\left(60x-2700\right)$$

Разложите x в первом и 60 в второй группе.

$$x\left(x-45\right)+60\left(x-45\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-45, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-45\right)\left(x+60\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-45=0 и x+60=0у.

$$x=45 x=-60$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+15x-2700=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 15 вместо b и -2700 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\left(-2700\right)}}{2}$$

Возведите 15 в квадрат.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\left(-2700\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -2700.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+10800}}{2}$$

Прибавьте 225 к 10800.

$$x=\frac{-15±\sqrt{11025}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 11025.

$$x=\frac{-15±105}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-15±105}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -15 к 105.

$$x=\frac{90}{2}$$

Разделите 90 на 2.

$$x=45$$

Решите уравнение x=\frac{-15±105}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 105 из -15.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Разделите -120 на 2.

$$x=-60$$

Уравнение решено.

$$x=45 x=-60$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+15x-2700=0$$

Прибавьте 2700 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+15x-2700-\left(-2700\right)=-\left(-2700\right)$$

Если из -2700 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+15x=-\left(-2700\right)$$

Вычтите -2700 из 0.

$$x^{2}+15x=2700$$

Деление 15, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=2700+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=2700+\frac{225}{4}$$

Прибавьте 2700 к \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{11025}{4}$$

Коэффициент x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{11025}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11025}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{105}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{105}{2}$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=45 x=-60$$