Решить x^2+14x+45=0

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Найдите x

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+14x+45 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=14 ab=45$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 45 продукта.

$$1,45 3,15 5,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=5 b=9$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+5=0 и x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+45. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 45 продукта.

$$1,45 3,15 5,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=5 b=9$$

Перепишите x^{2}+14x+45 как \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 9 во второй группе.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+5=0 и x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 14 вместо b и 45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Умножьте -4 на 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Прибавьте 196 к -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 16.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±4}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Разделите -10 на 2.

$$x=-5$$

Решите уравнение x=\frac{-14±4}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4 из -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Разделите -18 на 2.

$$x=-9$$

Уравнение решено.

$$x=-5 x=-9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Вычтите 45 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Если из 45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+14x=-45$$

Разделите 14, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 7. Затем добавьте квадрат 7 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Прибавьте -45 к 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Разложите x^{2}+14x+49 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Упростите.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x=-5 x=-9$$