Решить x^2+12x+27=0

$$x ^ { 2 } + 12 x + 27 = 0$$

Найдите x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}+12x+27 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=12 ab=27$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 27 продукта.

$$1,27 3,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+27=28 3+9=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=3 b=9$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+3=0 и x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+27. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 27 продукта.

$$1,27 3,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+27=28 3+9=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=3 b=9$$

Перепишите x^{2}+12x+27 как \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 9 во второй группе.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+3=0 и x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 12 вместо b и 27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 27}}{2}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Умножьте -4 на 27.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2}$$

Прибавьте 144 к -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 36.

$$x=\frac{-12±6}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±6}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -12 к 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Разделите -6 на 2.

$$x=-3$$

Решите уравнение x=\frac{-12±6}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 6 из -12.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Разделите -18 на 2.

$$x=-9$$

Уравнение решено.

$$x=-3 x=-9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+12x+27=0$$

Вычтите 27 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+12x+27-27=-27$$

Если из 27 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+12x=-27$$

Разделите 12, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 6. Затем добавьте квадрат 6 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Прибавьте -27 к 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Разложите x^{2}+12x+36 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$x=-3 x=-9$$