Решить x^2+11x=-24

$$x ^ { 2 } + 11 x = - 24$$

Найдите x

$$x=-8$$

$$x=-3$$

Способ разложения на множители

Прибавьте 24 к обеим частям.

$$x^{2}+11x+24=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+11x+24 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=3 b=8$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x+3\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+3=0 и x+8=0у.

$$x=-3 x=-8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 24 к обеим частям.

$$x^{2}+11x+24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=3 b=8$$

Перепишите x^{2}+11x+24 как \left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right)$$

Разложите x в первом и 8 в второй группе.

$$x\left(x+3\right)+8\left(x+3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+3\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+3=0 и x+8=0у.

$$x=-3 x=-8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+11x=-24$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Вычтите -24 из 0.

$$x^{2}+11x+24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 11 вместо b и 24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 24}}{2}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

Умножьте -4 на 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2}$$

Прибавьте 121 к -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-11±5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±5}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 5.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Разделите -6 на 2.

$$x=-3$$

Решите уравнение x=\frac{-11±5}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из -11.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Разделите -16 на 2.

$$x=-8$$

Уравнение решено.

$$x=-3 x=-8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+11x=-24$$

Деление 11, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Прибавьте -24 к \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Коэффициент x^{2}+11x+\frac{121}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Вычтите \frac{11}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-3 x=-8$$