Решить x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Найдите x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Действия по решению

Вычтите x^{2}+11 из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+11, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Вычтите 11 из 42, чтобы получить 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}+11} в степени 2 и получите x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Вычтите 961 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Вычтите 961 из 11, чтобы получить -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Прибавьте 62x^{2} к обеим частям.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Объедините x^{2} и 62x^{2}, чтобы получить 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Вычтите x^{4} из обеих частей уравнения.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Замените t на x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на -1, b на 63 и c на -950.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Решение t=\frac{-63±13}{-2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=25 t=38$$

Так как x=t^{2}, получены решения по оценке x=±\sqrt{t} для каждого t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$42=42$$

Подставьте -5 вместо x в уравнении x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Упростите. Значение x=-5 удовлетворяет уравнению.

$$42=42$$

Подставьте \sqrt{38} вместо x в уравнении x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Упростите. Значение x=\sqrt{38} не соответствует уравнению.

$$56=42$$

Подставьте -\sqrt{38} вместо x в уравнении x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Упростите. Значение x=-\sqrt{38} не соответствует уравнению.

$$56=42$$

Список всех решений \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$