Решить x^2+(x-2)^2=100

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Вычтите 100 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Вычтите 100 из 4, чтобы получить -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-48. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$a=-8 b=6$$

Перепишите x^{2}-2x-48 как \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-8=0 и x+6=0у.

$$x=8 x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Вычтите 100 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Вычтите 100 из 4, чтобы получить -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -4 вместо b и -96 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Прибавьте 16 к 768.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 784.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{4±28}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 28.

$$x=\frac{32}{4}$$

Разделите 32 на 4.

$$x=8$$

Решите уравнение x=\frac{4±28}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 28 из 4.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Разделите -24 на 4.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=8 x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

Вычтите 4 из 100, чтобы получить 96.

$$2x^{2}-4x=96$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

Разделите -4 на 2.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

Разделите 96 на 2.

$$x^{2}-2x=48$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

Прибавьте 48 к 1.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Упростите.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=8 x=-6$$