Решить x^2+(x+1)^2=4191

$$x ^ { 2 } + ( x + 1 ) ^ { 2 } = 4191$$

Найдите x

$$x = \frac{17 \sqrt{29} - 1}{2} \approx 45,273900861$$

$$x=\frac{-17\sqrt{29}-1}{2}\approx -46,273900861$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=4191$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=4191$$

Вычтите 4191 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+2x+1-4191=0$$

Вычтите 4191 из 1, чтобы получить -4190.

$$2x^{2}+2x-4190=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 2 вместо b и -4190 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-4190\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-4190\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-4190\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -4190.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+33520}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 33520.

$$x=\frac{-2±\sqrt{33524}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 33524.

$$x=\frac{-2±34\sqrt{29}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-2±34\sqrt{29}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±34\sqrt{29}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 34\sqrt{29}.

$$x=\frac{34\sqrt{29}-2}{4}$$

Разделите -2+34\sqrt{29} на 4.

$$x=\frac{17\sqrt{29}-1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±34\sqrt{29}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 34\sqrt{29} из -2.

$$x=\frac{-34\sqrt{29}-2}{4}$$

Разделите -2-34\sqrt{29} на 4.

$$x=\frac{-17\sqrt{29}-1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{17\sqrt{29}-1}{2} x=\frac{-17\sqrt{29}-1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=4191$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=4191$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+2x=4191-1$$

Вычтите 1 из 4191, чтобы получить 4190.

$$2x^{2}+2x=4190$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{4190}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{4190}{2}$$

Разделите 2 на 2.

$$x^{2}+x=\frac{4190}{2}$$

Разделите 4190 на 2.

$$x^{2}+x=2095$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2095+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2095+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 2095 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{8381}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{8381}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8381}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17\sqrt{29}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17\sqrt{29}}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{17\sqrt{29}-1}{2} x=\frac{-17\sqrt{29}-1}{2}$$