Решить x^2+(x+1)^2=365

$$x ^ { 2 } + ( x + 1 ) ^ { 2 } = 365$$

Найдите x

$$x=-14$$

$$x=13$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Вычтите 365 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+2x+1-365=0$$

Вычтите 365 из 1, чтобы получить -364.

$$2x^{2}+2x-364=0$$

Разделите обе части на 2.

$$x^{2}+x-182=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-182. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=1\left(-182\right)=-182$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -182.

$$-1,182 -2,91 -7,26 -13,14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+182=181 -2+91=89 -7+26=19 -13+14=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-13 b=14$$

Перепишите x^{2}+x-182 как \left(x^{2}-13x\right)+\left(14x-182\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(14x-182\right)$$

Разложите x в первом и 14 в второй группе.

$$x\left(x-13\right)+14\left(x-13\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-13\right)\left(x+14\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и x+14=0у.

$$x=13 x=-14$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Вычтите 365 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+2x+1-365=0$$

Вычтите 365 из 1, чтобы получить -364.

$$2x^{2}+2x-364=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 2 вместо b и -364 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -364.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2912}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 2912.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2916}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 2916.

$$x=\frac{-2±54}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-2±54}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±54}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 54.

$$x=\frac{52}{4}$$

Разделите 52 на 4.

$$x=13$$

Решите уравнение x=\frac{-2±54}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 54 из -2.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Разделите -56 на 4.

$$x=-14$$

Уравнение решено.

$$x=13 x=-14$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+2x=365-1$$

Вычтите 1 из 365, чтобы получить 364.

$$2x^{2}+2x=364$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{364}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{364}{2}$$

Разделите 2 на 2.

$$x^{2}+x=\frac{364}{2}$$

Разделите 364 на 2.

$$x^{2}+x=182$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=182+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=182+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 182 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{729}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{27}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=13 x=-14$$