Решить x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, \sqrt{6} вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Возведите \sqrt{6} в квадрат.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Прибавьте 6 к -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -\sqrt{6} к i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{14} из -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Деление \sqrt{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{\sqrt{6}}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{\sqrt{6}}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{\sqrt{6}}{2} в квадрат.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Прибавьте -5 к \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Коэффициент x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Упростите.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

Вычтите \frac{\sqrt{6}}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$